EVENTOS INDEPENDENTES

Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice‐versa.

Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.

Definição: A e B são eventos independentes se P (A ∩ B) = P (A) · P (B).

Exemplo 1:
Lançam-se três moedas. Verificar se são independentes os eventos:
A: saída de cara na primeira moeda.
B: Saída de coroa na segunda e cara na terceira moeda.

Exemplo 2:
Em uma caixa temos 10 peças das quais 4 são defeituosas.
São retiradas duas peças, uma após a outra com reposição.
Calcular a probabilidade de ambas serem boas.

Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.

Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de
realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por:

p = p1 x p2

Neste caso temos a seguinte expressão de probabilidade:

P(A e B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . (P(A/B)

Será considerado agora o gene que determina o daltonismo na espécie humana. Trata-se de um gene ligado ao sexo, em que:

Mulheres normais : XD XD ou XD Xd

Mulheres daltônicas : Xd Xd

Homens normais : XDY

Homens daltônicos : XdY

Considerando o casamento entre uma mulher normal, portadora, e um homem normal, tem-se as descendências:

 

Gametas	XD	Y
XD	XD XD	XD Y
Xd	XD Xd	Xd Y

Conclui-se que:

P(menino) = P(menina) = ½

P(Normal) = ¾

P(Daltonismo) = ¼

Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer uma menina daltônica. Verifica-se, neste caso, que:

P(menina daltônica) # P(menina) x P(daltônica)

Ao contrário, tem-se:

P(menina daltônica) = P(menina) x P(daltonica/menina) = ½ x 0 = 0

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS

Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização dos outro.

Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

p = p1 + p2

Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis. Assim, tem-se:

P(A) = P(menino de olhos castanhos) = 3/8

P(B) = P(meninas de olhos azuis) = 1/8

P(A ou B) = P(A) + P(B)= 3/8 + 1/8 = 1/4

Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos

Neste caso podemos definir a seguinte expressão de probabilidade

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino ou uma criança de olhos azuis. Assim, tem-se:

P(A) = P(menino) = 1/2

P(B) = P(olhos azuis) = 1/4

P(A e B) = P(meninos de olhos azuis) = 1/8

P(A ou B) = P(A) + P(B ) – P(A e B) = 1/2 + 1/4 – 1/8

A necessidade de subtrair a probabilidade de meninos de olhos azuis na P(A ou B) pode ser constatada pois tanto a valor P(menino) quanto P(olhos azuis) inclui a possibilidade de sair menino de olhos azuis, consequentemente esta probabilidade estaria sendo somada duas vezes caso não houvesse aquela subtração.

Restou dúvidas ainda?

Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro(s). Assim no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B).

OBS: Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre B não ocorre.

Exemplo 3: Sejam A e B eventos tais que P(A)=0,2; P(B)= q e P(A ∪ B) = 0,6.

Calcular q considerando:

a) mutuamente exclusivos; b) independentes.

Solução:

a) A e B mutuamente exclusivos ⇒ P (A ∩ B) = 0 (zero) como
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)  vem 0,6 = 0,2 + q − 0 ∴ q = 0,4.

b) A e B independentes ⇒ P (A ∩ B) = P (A) · P (B) = 0,2 · q como
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) vem 0,6 = 0,2 + q − 0,2 · q ∴ q = 0,5.

Exercício: A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5;
a de sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui 30 anos:

a) ambos estejam vivos; R: 4/15

b) somente o homem esteja vivo; R: 2/15

c) somente a mulher esteja viva; R: 2/5

d) pelo menos um esteja vivo. R: 4/5

Espero que tenha dado para compreender bem o assunto. Abraços.

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